扑翼功效理论和离散对偶模型

人力扑翼

为了能从功率和效率的角度对比分析各种扑翼原理学说，本文试建立更为一般化的扑翼原理模型，特别是提出更为一般化的扑翼功率和效率理论。相比本专栏以前的模型，扩展以下几方面的一般性：

a. 可以加入非定常气动作用；

b. 可以描述各相关因素的展向变化；

c. 可以描述多种不同扑翼方式（结构方式、各因素展向分布规律和周期性变化规律等）；

d. 可以定量描述功率及效率和上述因素的关系。

这个模型能用于数值计算，用以对比不同扑翼方式的功率及效率，并研究抽象仿生的扑翼机。（这里所谓的抽象仿生，是指剪裁出生物扑翼的基本原理而设计的、在外形和动作上显著区别于生物扑翼的人造飞行器）。

本文在给出原始的、一般的扑翼原理数学模型之后，还给出一个简化的离散对偶模型，使用Excel即可计算。最后给出根据计算结果得到的一些理论判断。

1．描述扑翼运动和气动力的几何要素

目前国内扑翼风洞试验和仿真试验，缺乏气动力瞬时值及其周期性变化规律的测量。而德国SmartBird的先进性，显然得益于瞬时气动力的测量及动态控制。所以扑翼原理模型需要从瞬态开始。

翼的某个展向微元，在某个时刻，具有整个飞行体的前进运动和该展向微元的垂直作动运动。这两个运动合成为该展向微元在该时刻相对于空气的运动，即迎流运动，包括迎流运动方向和迎流运动速度。

翼的迎流运动区别于整体前飞运动，是扑翼最基本的原理要素。翼的某展向微元在某时刻的实际迎流方向和整体飞行方向的差角，可以一般地称为“变流角”。（在水平飞行时，变流角就是翼的该展向微元相对于空气的运动轨迹在该点的切线的俯仰角，即以往说的翼轨迹俯仰角λ）。

翼在某时刻的气动力，在其合成的实际迎流运动的基础上产生，而决不能分别描述前飞运动和垂直作动这两个分运动的气动作用（一般地，合运动的气动作用不等于分运动的气动作用之和）。

对气动力有重大影响的攻角，不再是固定翼那样从飞行方向到翼弦线方向的角，而是从翼的实际迎流方向到翼弦线方向的角。

气动力的经典描述中的升力、阻力、升阻比、特性角等，都是在迎流坐标系上定义的。可以表述为迎流法方向上的升力和迎流反方向上的阻力，也可以表述为气动力向后偏离迎流法方向的特性角和气动力的大小（特性角的余切函数是升阻比）。

定常和非定常气动的区别可以表现为，扑翼在迎流坐标系上的升力和阻力，和该翼型在定常风洞试验中得到的气动结果的符合程度。如果有显著的非定常气动作用，那么瞬时气动力不仅取决于该时刻的相对运动和相对姿态，还受到之前的相对运动和相对姿态的后效性影响，可以表示为迎流坐标系上的定常风洞试验结果的修正。考虑下面将提到的周期平衡方程的约束，对巡航来说，非定常气动可以只表现为对特性角μ的修正。

对于变流角很小（中大型鸟类仅几度）且频率较低的扑翼，很难相信气动力相对于实际迎流法方向前倾、而使特性角变向。迎流反方向的阻力总会存在（前缘涡和后缘涡阶都不足以消除迎流阻力）。可能存在的非定常作用，也就无非是减小特性角，即提高翼在迎流坐标系中的升阻比。

归纳起来说，主要几何要素，要注意熟练区分五个方向和三个角。

五个方向：

——整体前飞运动的方向；

——翼相对于身的作动运动的方向；

——翼相对于空气的迎流运动（以上两运动的合成）的方向；

——翼弦线方向；

——综合气动力方向。

三个角：

——变流角λ（从整体前飞方向到翼的迎流方向之间的角）；

——特性角μ（从翼的迎流方向的法方向到综合气动力方向之间的角）；

——攻角（从翼的迎流方向到翼弦线方向之间的角）。

另外还有两个比可以作为参考：

——升阻比，即迎流坐标系中的升力和阻力之比，是特性角的余切函数；

——动飞比，即作动速度和前飞速度之比，是变流角的正切函数。

2．飞行坐标系中的气动力及其周期均值

要描述气动力对飞行状态的影响，就要把上述用翼的迎流坐标系表达的气动力，通过坐标旋转变换，转换到整体前飞的飞行坐标系上来表达，而成为飞行法方向升力和飞行方向力。

即使翼的迎流方向上总会存在阻力，但坐标旋转后，下冲时的飞行方向力则可以有正向值。这是以定常气动作用为主的巡航扑翼的最基本的“升推一体”原理。

翼的展向微元在某时刻的飞行法方向升力和飞行方向力，各自沿展向和时间的全翼展、整周期的二重定积分，和周期时长的商，分别为飞行法方向升力周期均值和飞行方向力周期均值。

（本文在后面简化模型中将避免积分。为了减少代字定义和繁琐公式，在简化之前的原始模型描述中不用符号公式表示这些积分，只作自然语言描述）。

对于巡航扑翼来说，主要研究宏观等速水平直线飞行状态。

在巡航状态，飞行法方向升力（即气动力铅直分量）的周期均值应等于重力，飞行方向力（即气动力水平分量）的周期均值应为零（周期积分也就应为零）。这就是巡航状态的周期平衡。按这个周期平衡条件列出的方程称为周期平衡方程。

铅直气动分力与整体重力G之比，称为承载比γ。于是铅直气动分力可以表示为γG。则铅直方向周期平衡方程可表为：展向微元瞬时承载比（密度）γ的展向、周期二重定积分与周期时长的商为1。可见承载比γ是垂直气动力的归一化表示。

定义变流角λ的符号下挥时为正，上挥时为负。定义特性角μ的符号，在气动力的迎流方向分力向后时，和承载比γ同符号。（注意这里角度符号和以往文章中的定义不一样），于是飞行方向力可表为γtg（λ－μ）。于是等速平飞时的水平方向周期平衡方程可表为：γtg（λ－μ）的展向、周期二重积分为0。

（后续）

人力扑翼

(续）
3．扑翼的理论功率
能达成周期平衡的扑翼结构样式和动作样式可以是多样的。这里的扑翼样式，表现为变流角和特性角（包含翼型、攻角、柔性、非定常作用的影响）的展向分布规律和周期性变化规律。
为了研究不同扑翼样式的区别，需要用功率和效率来对比。麻雀能飞却飞不久，微小型扑翼能飞却难以大型化，问题都在效率上。
以效率为目标函数、以周期平衡为约束条件，优化扑翼作动和弦线角度的展向分布规律和周期性变化规律，才能真正揭示巡航扑翼基本原理。
首先分析瞬时作动功率的表达。
展向微元某时刻的气动力，从动力作功的角度分解为以下三个成分：
a. 该气动力在作动方向的法方向（可认为是飞行方向）上的分力，可以由斜拉摆动筋或轴承的轴向支撑力与其互为反作用力，可以认为是和动力无关的，也就和作动功率无关。
b. 该气动力在作动方向上的分力，有一部分和来自作动机构的作动力互为反作用力。这部分力和作动速度之积就是作动功率。
c. 气动力在作动方向上的分力，和作动力抵消后的剩余部分，是产生翼的作动方向加速度的力。由于翼的质量远小于身的质量，在基本原理中可以忽略翼的质量。所以这部分力在原理性功率理论中可以暂时忽略。
于是，该微元该时刻气动力的作动方向分力γG和该微元该时刻作动速度Vγ的积，就是该微元该时刻的作动功率
P=γGVγ
这就把功率也微元化了。
作为基本原理，这里不考虑该微元的作动是通过何种机械传动而实现的，也就是说，不考虑传动效率问题。除了摩擦、运动阻尼等传动损耗之外，传动比以及转动和平动的变换都不会改变功率传递。传动机械惯量则只会在时间上缓冲功率传递。
当气动力的作动方向分力和作动速度反向、即作动力和作动速度同向时，作动源通过该展向微元向空气输出机械能量，以此时的功率为正。
当气动力的作动方向分力和作动速度同向、即作动力和作动速度反向时，气动作用可以向作动源（可以包括并联弹性器件等缓存机制）输入机械能量，以此时的功率为负。
这种代数化的微元功率的全展向、全周期的二重定积分，是周期作动功。周期作动功和周期时间的商就是周期平均功率。
以上忽略挥翼质量和传动损耗、并假设能量出入的无损转化的功率，称为理论功率。
这个扑翼功率理论有两个重要提示：
第一，研究扑翼原理，并非只是追求气动力的大小。在巡航飞行状态对气动力周期均值的约束条件下，气动力瞬时值波动过大反而有可能增加功率，降低效率。而外缘上翘、尾缘锯齿、柔性以及非定常气动，无非都是减小瞬时特性角、即增加瞬时升阻比的因素。相当于轮胎花纹增加抓地力和汽车基本原理的关系，不一定是主要因素。
第二，扑翼功率可以是有正有负的，这是扑翼区别于螺旋桨和直升机旋翼的重要特殊性之一（和自旋翼有共同点，但功率进出的展向分布和时间分布规律不同）。如何有效吸收输入的风能并用于输出？不但是认识生物飞行原理的重要环节，也是扑翼机设计的重要内容。对于上挥和下挥之间延时互补的扑翼结构，和动力并联的弹性是最普通的能量缓冲。后面还将给出不需要弹性缓冲的共时互补机制。

4．扑翼的理论效率
前述微元瞬时功率
     P=γGVγ
其中作动速度Vγ，可由飞行速度V和变流角λ的正切之积来表示
         Vγ= Vtgλ
于是该微元该时刻理论功率
         P =γGVtgλ
在宏观飞行速度一定时，对于展向和周期时间的二重定积分来说，G和V都视为常数，可以从积分号中提出来，剩下的被积函数γtgλ就只含两个随展向和时间而变化的变量γ和λ。于是，把承载比和变流角正切之积γtgλ称为功率变量因子。功率变量因子γtgλ的代数周期均值γtgλ（这里暂用下划线表示周期均值）和G、V的积就是理论功率的周期均值。
反过来看，功率变量因子的周期均值γtgλ，是单位重力、单位飞行速度的理论功率。其倒数实质上是一种广义理论效率指标，可以用于在相同重力和相同飞行速度下比较不同扑翼方式的效率。
（小特性角的特点，使巡航扑翼具有滑翔的性质。加上变流角和气动力周期性变化的特点，使巡航扑翼具有“交变滑翔”的性质。交变滑翔的功率变量因子，虽然不同于交流电的功率因数，但似有某种异曲同工之处）。
下面考虑几种不同的广义效率指标。
第一种是，飞行路程与功耗之比。即
    S/N=（Vt）/（Pt）=V/P= V/（γtgλGV）=1/（γtgλG）。
以航程为首要要求时（例如迁徙或勘测），应以该指标值为主。
第二种是，飞行时间与功耗之比。即
    t/N= t/（Pt）=1/P =1/（γtgλGV）。
以留空时间为首要要求时（例如用于通信中继、监视等任务的平流层留空器），应以该指标值为主。
第三种是，飞行重量与功耗之比。即
    G/ N= G/（Pt）= G/（γtgλGV t）= G/（γtgλGS）=1/（γtgλS）。
在有限距离内不计时间的货运飞行（例如为了越过戈壁、沙漠、水域而作简易空运）以及短距越障飞行，应以该指标为主。
第四种是，最小极限功率和功率之比。该指标是值域为（0，1）的无符号数，实际上是狭义效率指标。
这里的最小极限功率，可以看成是不扑动翼时的能量损失率的相反值。该值等于等速直线下滑时的势能损失率绝对值，也等于等速水平被拖曳滑翔的拖曳功率，都为GVtgμ0（μ0是等速直线下滑或等速水平被拖曳滑翔的气动力特性角）。于是该狭义效率为：
    η= GVtgμ0 /P= GVtgμ0 /（γtgλGV）=tgμ0 /（γtgλ）。
（该指标也是以前文章中提到的“和固定翼同基准的比较效率”）。
综上所述，无论哪种效率指标，都和功率变量因子的周期均值γtgλ成反比。
而且，功率变量因子所含的两个变量γ和λ的展向分布规律和周期性时间变化规律，也正是不同扑翼样式的区别所在。
所以，数学模型可以用功率变量因子的周期均值的倒数1/γtgλ作为效率指标。
有关功率变量因子γtgλ的认识，是本文最核心的理论。

5．离散对偶扑翼模型的基本思路
本模型是在前述包含积分的原始性的、一般性的扑翼原理模型的基础上，简化为无积分的数学模型。
第一，把展向的连续变化，用数个离散的展向段的组合来近似表示。每个段内，铅直作动速度、变流角、弦线角姿态等都是展向一致的。（这里把具有展向一致性的扑翼叫整动扑翼）。而不同展向段则可以有不同的参数。然后就把某物理量的展向积分简化为各段整动扑翼的相应物理量之和。
第二，把每个展向段的下冲过程和上冲过程，都分别简化为近似直线的稳态过程。使得某物理量在单程中的瞬时值等于该单程的平均值。
第三，为了使某个物理量的周期均值等于两个单程均值的均值，把每个展向段的下冲过程和上冲过程，近似为时间相等、变流角反向相等的过程。再用两个反相位的虚拟整动扑翼分别表示，并同时复合在一起。这两个整动扑翼就互为对偶。在单程稳态化的基础上，对偶复合又形成了全周期的稳态，每个瞬间的综合力学状态都等于周期均值。于是周期平衡条件就演变为瞬态条件，即每个瞬间的飞行法方向升力的总和都应等于重力，每个瞬间的飞行水平力的总和都应为零。而功率变量因子的瞬间值也就等于周期均值。所有对时间的积分也就都变成求和了。
对偶复合的虚拟数学模型也可以直接成为抽象仿生的扑翼机物理模型。对偶的两个整动扑翼的身对翼拉力可以设计为类似滑轮拉索等机械结构的差动，动力只承担对两个整动扑翼的拉力之差，前面所述的瞬时功率的正、负符号，通过滑轮拉索变向而直接在两个互为对偶的翼之间互传能量。把上冲与下冲之间的延时互补，变成了共时互补，从而不再需要弹性器件来存储或释放能量。（参见《差动变载扑翼》）。而且显然，对偶复合型结构由于没有原理性的半周期波动，所以比非对偶复合型结构更稳定。

注意，这种离散对偶的数学模型所反映的效率，既符合同结构的抽象仿生的物理模型（例如差动变载扑翼）的情况，也符合非对偶复合的物理结构的鸟类和扑翼机的数学关系，不存在倍增或折半。

（如果需要研究承载比和变流角的特定展向参量函数和特定时间参量函数，可按前述更原始、更一般的扑翼原理模型，自行列积分公式以及联立方程组）。

下面是离散对偶扑翼模型的一种具体化。

（后续）

人力扑翼

(续）
6．四个整动扑翼组成两组对偶的扑翼模型
这是离散对偶模型的一种典型应用。
把翼分为展向内段和展向外段两部分，分别描述。把两幅反相位运动的扑翼合并成为对偶组合。
数学模型中的第一整动扑翼表示下冲状态的内段翼，第二整动扑翼表示上冲状态的内段翼，第三整动扑翼表示下冲状态的外段翼，第四整动扑翼表示上冲状态的外翼段。
设第i翼的变流角为λi，下冲时的变流角为正，上冲时的变流角为负。
于是
           λ3＞λ1＞0
对偶条件为：
           λ2＝－λ1，λ4＝－λ3   …………………………（6-1）
以下设宏观等速水平飞行。且作动方向总是铅直的。
设第i翼的迎流法方向到该翼综合气动力方向的夹角为该翼的特性角μi，第i翼的承载比为γi，当迎流方向力是阻力时μi和该翼的承载比γi同号。则该翼铅直气动分力为γiG，水平气动分力为γiG tg（λi－μi）。
宏观等速水平飞行时的铅直方向周期平衡方程为∑（γiG） ＝G，即
                   ∑γi＝1。      …………………………（6-2）
水平方向周期平衡方程为
∑[γiG tg（λi－μi）] ＝G∑[γitg（λi－μi）] ＝0，
即
∑[γitg（λi－μi）] ＝0。           …………………………（6-3）

    设整体前飞速度为V（忽略周期内有小量波动）。则驱动功率为
       γ1 G V tgλ1＋γ2 GV tgλ2＋γ3 G V tgλ3＋γ4 GV tgλ4=
      =γ1 G V tgλ1＋γ2 GV tg（－λ1）＋γ3G V tgλ3＋γ4 GV tg（－λ3）=
      =γ1 G V tgλ1－γ2 GV tgλ1＋γ3 G V tgλ3－γ4 GV tgλ3=
      =（γ1－γ2）G V tgλ1＋（γ3－γ4 ）G V tgλ3 =
  =[（γ1－γ2 ） tgλ1＋（γ3－γ4 ）tgλ3] G V
其中功率变量因子为
      （γ1－γ2 ） tgλ1＋（γ3－γ4 ）tgλ3         …………（6-4）
（此处功率变量因子的瞬时值等于周期均值）。

为了计算功率变量因子，需要四个特性角μi（注意设定特性角μi要和承载比γi同符号，也可以用设定的升阻比的反余切换算出特性角）、四个变流角（翼轨迹俯仰角）λi（按对偶条件只需设定两个）、四个承载比γi（可设定两个，再利用两个周期平衡方程求出另两个）。
例如，将水平前飞方向的周期平衡方程展开：
γ1tg（λ1－μ1）＋γ2tg（λ2－μ2）＋γ3tg（λ3－μ3）＋γ4tg（λ4－μ4）＝0，
由于对偶性，由（6-1）消去λ2和λ4：
γ1tg（λ1－μ1）＋γ2tg（－λ1－μ2）＋γ3tg（λ3－μ3）＋γ4tg（－λ3－μ4）＝0，
γ1tg（λ1－μ1）－γ2tg（λ1＋μ2）＋γ3tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3＋μ4）＝0，
利用铅直方向周期平衡方程（6-2）把γ3消去：
γ1tg（λ1－μ1）－γ2tg（λ1＋μ2）＋（1－γ1－γ2－γ4）tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3＋μ4）＝0，
展开
γ1tg（λ1－μ1）－γ2tg（λ1＋μ2）＋tg（λ3－μ3）－γ1 tg（λ3－μ3）－γ2 tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3＋μ4）＝0，
γ1tg（λ1－μ1）－γ1 tg（λ3－μ3）－γ2tg（λ1＋μ2）－γ2 tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3－μ3）－γ4tg（λ3＋μ4）＋tg（λ3－μ3）＝0，
按γi合并
γ1[tg（λ1－μ1）－tg（λ3－μ3）]－γ2[tg（λ1＋μ2）＋tg（λ3－μ3）]－γ4[tg（λ3－μ3）＋tg（λ3＋μ4）]＋tg（λ3－μ3）＝0，
提出γ1
γ1＝{γ2[tg（λ1＋μ2）＋ tg（λ3－μ3）]＋γ4[tg（λ3－μ3）＋tg（λ3＋μ4）]－tg（λ3－μ3）}/[tg（λ1－μ1）－ tg（λ3－μ3）] 。   …………（6-5）
根据输入的γ2、γ4按式（6-5）计算出γ1后，再按式（6-2）计算出γ3。
最后按式（6-4）计算功率变量因子的值。

这里，特性角μi是最复杂的。
第一，特性角隐含着攻角的作用。
第二，由于升阻比也是随攻角变化而有变化的，所以承载比和变流角的值都和特性角有间接关系。设定特性角时需注意，当承载比很小的时候，特性角应该很大。而且特性角的符号要和承载比的符号一致，特别是用Excel按周期平衡条件计算出的承载比改变了符号时，需要重新输入特性角符号并重新计算。
第三，非定常作用的影响，在此模型中也表现为特性角的变化。考虑非定常作用时可减小特性角。
用此模型的目的，主要是用数值规律对不同扑翼动作方式进行原理级的、理论性的相对比较，所以可以对特性角多设几个值来比较，即可看出原理性的规律。
这四个翼的特性角μi、变流角λi、承载比γi的一种组合值（矢量），就表示了一种扑翼方式。而功率变量因子，则是对比不同扑翼方式的指标（越小越好）。这样就能通过数值比较来找出巡航扑翼的高效率动作方式。
仿此，还可以构建两翼一组对偶、六翼三组对偶等具体模型。

7. 通过离散对偶模型的数值计算得到的几个理论判断
7.1．迎流负升力会降低扑翼效率。
所以，巡航状态不应该有负升力，也不应该有上冲推力。
7.2. 在保证水平方向力周期均值为0的前提下，变流角绝对值越小则效率越高。
这和前面文章中所说“比较效率是变流角余弦的平方”的说法是一致的。但是由于下冲的变流角必须大于特性角才能有水平推力，所以，大于并接近特性角的变流角，能获得最大效率。
7.3 整动扑翼的最佳效率优于角动扑翼
整动扑翼的变流角可以不随展向增大而增大，可以全展向优化；角动扑翼的变流角则随展向增大而增大，所以外段变流角就可能太大而降低效率。
生物无法实现整动扑翼，抽象仿生扑翼机则可以实现。
7.4. 在上冲承载比大于0的前提下，下冲承载比较大，有利于提高效率。
在特性角恒定（即升阻比恒定）的条件下，对偶复合结构中的下冲总承载比应小于并接近1，上冲总承载比应大于并接近0，能使效率最高。
变载比=（上冲承载比－下冲承载比）/（上冲承载比＋下冲承载比）。以前文章中提到的变载比0.1~0.3的说法，来源于对动飞比的概略观察判断和几种假设值的计算表格，并不严谨，特此更正。
也就是说，作动功率的两个因素：作动力和作动速度，在这里后者的影响更显著。所以增大力、降低频率，有利于降低功率，提高效率。
按此道理，无论是对偶复合结构还是非复合结构，变载比绝对值都应小于并接近于1。
但是由于上冲承载比接近0时，实际特性角会剧烈增大，降低效率。而且，实际扑翼动作难以实现理想化的直线上冲、直线下冲和瞬时转换，所以实际扑翼的最佳变载比也不会太大。
由于上冲承载比很小且有水平阻力，可以用增大上冲角度、减小上冲时间以及减小上冲时的翼面积的方式来提高效率。
7.5. 关于升心位移方式
角动扑翼，通过攻角的展向分布规律的变化，而使下冲时单侧升心向外侧移、上冲时单侧升心向内侧移的方式，这里简称为升心位移。
使用四翼二对偶模型计算可知，升心位移可以补救角动扑翼外侧变流角太大而降低效率的先天缺陷，但是仍然超不过整动扑翼的最佳效率。
某外国扑翼机网站有一种扑翼理论：由于变流角绝对值随展向增大，下冲时单侧升心外移就增大了综合气动力前倾角，上冲时单侧升心内移就减小了综合气动力后倾角，这样，可以使下冲铅直升力和上冲铅直升力趋于平衡时，也能实现铅直和水平的周期平衡。
通过本模型有内、外段之分的离散整动对偶扑翼模型的计算可知，下冲和上冲的铅直升力趋于平衡，按7.4. 会降低效率。
以上理论判断是认识扑翼原理的新进展，也说明扑翼功效理论的重要作用。(全文完）

飘逸的毛毛

很久没人更新新的资料了，也不知道大家怎么样了